Pré-requisito assíncrono · Semana 3

Nivelamento matemático

9 exercícios. Cerca de 45 minutos.

Entrega obrigatória, corrigida pass/fail, sem peso nenhum na nota final. Não é prova e não é revisão de cálculo — é a checagem de que quatro coisas específicas estarão à mão na noite da Aula 3, que é a primeira aula do curso com uma equação na parede.

  1. 01ler Y = A · K^α · L^(1−α) — substituir números e dizer o que cada letra é;
  2. 02entender por que α < 1 faz o retorno de cada máquina nova cair;
  3. 03converter uma razão entre dois anos em taxa de crescimento anual — é exatamente a conta que os grupos vão fazer à mão, de calculadora de celular, na Oficina I;
  4. 04ler Δk = s·f(k) − (δ+n)·k como frase, e dizer o sinal de Δk.

Nada além disso está aqui, de propósito. Se você sabe fazer estas nove contas, a Aula 3 é acompanhável do começo ao fim. Se travar em alguma, entregue travado: o objetivo é o professor saber onde a sala está antes da aula, não te reprovar em nada. Quase todos os números vêm da própria Penn World Table que a aula usa — quando você vir 5,53% ao ano de novo na Aula 3, vai ser porque você já calculou.

Ferramenta: calculadora de celular. Precisa da tecla x^y (ou ^) e, no exercício 7, da tecla ln. Nada de planilha.

Bloco A · Ler a função de produção · ~6 minutos

A função de produção Cobb-Douglas do modelo é Y = A · K^α · L^(1−α), onde Y é o produto (quanto a economia produz num ano), K é o estoque de capital (máquinas, prédios, estradas — coisa acumulada), L é o número de pessoas trabalhando, A é a produtividade, e α é um número entre 0 e 1.

1. Substituir números

Com A = 1, α = 1/2, K = 16 e L = 81:

  1. (a)Calcule Y.
  2. (b)Agora A = 2, mantendo o resto. Calcule Y de novo.
  3. (c)Em uma frase: das quatro letras Y, K, L, A, qual delas ninguém consegue medir diretamente?
gabarito do 1
  1. (a)Y = 16^0,5 · 81^0,5 = 4 · 9 = 36.
  2. (b)Y = 2 · 36 = 72 — A multiplica tudo.
  3. (c)A. Capital, trabalho e produto se medem (mal, mas se medem); a produtividade é o que sobra depois de contabilizar os outros. A Aula 3 chama esse resto de resíduo de Solow, e Moses Abramovitz o chamou de “a medida da nossa ignorância”.

2. Por que os dois expoentes somam 1

Mantenha A = 1 e α = 1/2. Comece de K = 100 e L = 100.

  1. (a)Calcule Y.
  2. (b)Agora dobre os dois ao mesmo tempo: K = 200 e L = 200. Calcule Y.
  3. (c)O produto dobrou, mais que dobrou ou menos que dobrou? Sem fazer conta nenhuma, explique por que isso vale para qualquer α entre 0 e 1 — a dica é olhar o que acontece com 2^α · 2^(1−α).
gabarito do 2
  1. (a)Y = 100^0,5 · 100^0,5 = 10 · 10 = 100.
  2. (b)Y = 200^0,5 · 200^0,5 = 200.
  3. (c)Dobrou exatamente. Vale para qualquer α porque (2K)^α · (2L)^(1−α) = 2^(α + 1 − α) · Y = 2Y. É por isso que os dois expoentes somam 1: a hipótese é de retornos constantes de escala — dobrar tudo dobra o produto. Diferente do exercício 3, onde só um fator dobra.

Bloco B · O que α < 1 está dizendo · ~10 minutos

Este bloco é o coração da Aula 3: a aula inteira sai desta única hipótese.

3. A fábrica que recebe máquinas

Uma fábrica tem L = 100 trabalhadores, e esse número não muda. A = 1, α = 1/2. Preencha a tabela — cada linha acrescenta as mesmas 100 unidades de capital.

KYGanho sobre a linha de cima
100?—
200??
300??
400??
  1. (a)Complete as seis células.
  2. (b)As 100 máquinas acrescentadas são sempre as mesmas 100 máquinas. Por que o ganho encolhe a cada linha?
  3. (c)Essa é a resposta à pergunta que o professor vai fazer em sala: “se eu dobrar as máquinas de uma fábrica sem contratar ninguém, a produção dobra?” Responda em uma frase.
gabarito do 3
  1. (a)Y = √K · √100 = 10·√K → 100,0 · 141,4 · 173,2 · 200,0. Ganhos: +41,4 · +31,8 · +26,8.
  2. (b)Porque as mesmas 100 pessoas estão operando cada vez mais máquinas — a segunda leva de 100 máquinas é dividida entre trabalhadores que já estavam ocupados com a primeira. Isso é retorno decrescente do capital, e é o que α < 1 significa.
  3. (c)Não: dobrar as máquinas sem contratar ninguém multiplica a produção por 2^α, que é menos que 2.

4. O tamanho do efeito depende de α

Se você dobrar só o capital, mantendo L e A parados, o produto é multiplicado por 2^α.

  1. (a)Calcule 2^α para α = 1/3, α = 1/2 e α = 0,46 (este último é a participação do capital no Brasil entre 1960 e 2023, medida na PWT — o valor real que a aula usa).
  2. (b)E se α = 1? Calcule, e diga o que aconteceria com a ideia de “retorno decrescente” nesse caso.
  3. (c)Nos dados desta aula, α fica entre 0,25 e 0,65 conforme o país e a década. Nenhum país tem α = 1. Em uma frase: por que isso é uma boa notícia para o modelo?
gabarito do 4
  1. (a)2^(1/3) = 1,26; 2^0,5 = 1,41; 2^0,46 = 1,38.
  2. (b)2^1 = 2 — a produção dobraria. Com α = 1 o retorno de cada máquina nova não cai nunca, a acumulação de capital nunca perde força, e o modelo da Aula 3 deixa de existir: não haveria estado estacionário.
  3. (c)Porque a hipótese central do modelo — retornos decrescentes — não é conveniência matemática: ela aparece na renda observada dos países. O modelo está apoiado em algo medido.

Bloco C · De uma razão entre dois anos para uma taxa ao ano · ~15 minutos

Este é o bloco que a Oficina I usa diretamente. Se você só puder fazer um bloco, faça este. A conta é sempre a mesma: se uma grandeza vale V₀ no ano inicial e V₁ depois de T anos, a taxa de crescimento anual composta é g = (V₁ / V₀)^(1/T) − 1. Na calculadora: divide, aperta x^y, digita 1÷T, subtrai 1.

5. Vinte anos do Brasil

A renda por pessoa no Brasil era de US$ 13.158 em 1980 e de US$ 13.574 em 2000 (PWT 11.0, dólares de 2017).

  1. (a)Qual foi a taxa de crescimento anual da renda por pessoa nesses 20 anos? Em porcentagem, com duas casas.
  2. (b)Em quantos por cento a renda cresceu no total no período?
  3. (c)Esse número anual vai aparecer na primeira tela de conteúdo da Aula 3. O que ele diz sobre uma geração inteira de trabalho no Brasil?
gabarito do 5
  1. (a)(13.574 / 13.158)^(1/20) − 1 = 1,0316^0,05 − 1 = 0,00156 → 0,16% ao ano.
  2. (b)3,2% no total, em vinte anos.
  3. (c)Resposta livre. A leitura da aula: o Brasil investiu, escolarizou e aumentou a população ocupada nesses vinte anos, e a renda por pessoa praticamente não se moveu — o estoque de capital cresceu 3,5% ao ano no mesmo período. É esse descasamento que abre a Aula 3.

6. Brasil e Coreia do Sul, 63 anos

Renda por pessoa, PWT 11.0, dólares de 2017:

19602023
BrasilUS$ 4.751US$ 18.492
Coreia do SulUS$ 1.901US$ 56.283
  1. (a)Calcule a taxa de crescimento anual de cada país entre 1960 e 2023 (T = 63).
  2. (b)A diferença entre as duas taxas é de quantos pontos percentuais? Parece pouco ou parece muito?
  3. (c)Em 1960 a Coreia tinha 40% da renda brasileira; em 2023 ela tem três vezes a brasileira. Como é que uma diferença tão pequena de taxa anual produz uma inversão tão grande?
gabarito do 6
  1. (a)Brasil: (18.492/4.751)^(1/63) − 1 = 0,0218 → 2,18% ao ano. Coreia: (56.283/1.901)^(1/63) − 1 = 0,0552 → 5,5% ao ano (5,53% com os valores sem arredondar, que é o número do CSV do curso).
  2. (b)Cerca de 3,3 pontos percentuais.
  3. (c)Porque a taxa incide sobre o resultado do ano anterior, 63 vezes seguidas. Uma vantagem anual de 3,3 pontos acumulada por 63 anos vira um fator de (1,0553/1,0218)^63 ≈ 7,6: a renda coreana se multiplicou por 29,6 e a brasileira por 3,9. Juro composto é a coisa mais violenta da economia do crescimento, e é por isso que o curso se preocupa com décimos de ponto percentual.

7. O atalho que não funciona, e o que funciona

A renda por pessoa do Brasil se multiplicou por 3,89 entre 1960 e 2023 — um aumento de 289% em 63 anos. Alguém propõe: “então foi 289 ÷ 63 = 4,6% ao ano.”

  1. (a)Esse número bate com o que você calculou no exercício 6? Se não bate, ele é maior ou menor — e por quê?
  2. (b)Teste: se o Brasil tivesse crescido 4,6% ao ano por 63 anos, por quanto a renda teria se multiplicado? (Calcule 1,046^63.)
  3. (c)Existe um segundo atalho, este correto, chamado taxa de crescimento contínuo: g ≈ ln(V₁/V₀) / T. Calcule por essa fórmula a taxa da Coreia do Sul e compare com o valor do exercício 6. Dão a mesma coisa? Quase? Quando “quase” deixa de ser bom o bastante?
gabarito do 7
  1. (a)Não bate: 4,6% é o dobro de 2,18%. O erro é ignorar que o crescimento incide sobre um valor que já cresceu — dividir o aumento total pelo número de anos supõe que a economia cresce sempre o mesmo tanto em dólares, e não a mesma proporção.
  2. (b)1,046^63 = 17,0 — a renda teria se multiplicado por 17, não por 3,89. O erro é enorme e sempre na mesma direção: o atalho superestima.
  3. (c)ln(29,607)/63 = 0,0538 → 5,38% ao ano, contra 5,53% pela fórmula composta. A taxa contínua é sempre um pouco menor, e a diferença cresce com a taxa: no Brasil dá 0,02 ponto (2,16% contra 2,18%); na Coreia, 0,15 ponto. Regra prática: abaixo de ~3% ao ano as duas dão o mesmo número na primeira decimal; acima disso, use a composta — nas folhas da Oficina I, use sempre a composta.

Bloco D · Ler a equação de movimento · ~13 minutos

Esta é a única equação da Aula 3 que descreve mudança ao longo do tempo, e é a que vai para o quadro: Δk = s·f(k) − (δ + n)·k. Tudo em termos por trabalhador: k = K/L é o capital por trabalhador e f(k) o produto por trabalhador; Δk é quanto o capital por trabalhador muda de um ano para o outro; s é a fração da renda poupada e investida, δ é a fração do capital que se desgasta por ano, n é a taxa de crescimento do número de trabalhadores. Você não precisa resolver equação diferencial. Precisa olhar para os dois termos e dizer qual está ganhando.

8. Quem está ganhando

Use f(k) = √k, s = 0,20, δ = 0,05 e n = 0,01 — valores da mesma ordem dos brasileiros: o Brasil investe cerca de 18% da renda e sua depreciação medida é de ~4,9% ao ano.

  1. (a)Com k = 4: calcule o primeiro termo (s·f(k)), o segundo ((δ+n)·k) e Δk. O capital por trabalhador está crescendo ou encolhendo?
  2. (b)Com k = 25: mesma coisa. E agora?
  3. (c)Existe um valor de k em que os dois termos se igualam e Δk = 0. Encontre-o resolvendo 0,20·√k = 0,06·k. (Dica: divida os dois lados por √k.)
  4. (d)Nesse ponto, quanto vale o produto por trabalhador y = √k?
gabarito do 8
  1. (a)s·f(k) = 0,20·2 = 0,40; (δ+n)·k = 0,06·4 = 0,24; Δk = +0,16. Crescendo — o investimento é maior que o desgaste mais a diluição.
  2. (b)0,20·5 = 1,00; 0,06·25 = 1,50; Δk = −0,50. Encolhendo: capital demais para o tanto que se poupa.
  3. (c)0,20 = 0,06·√k → √k = 3,33 → k* = 11,11.
  4. (d)y* = √11,11 = 3,33.

Repare no que aconteceu entre (a) e (b): abaixo de 11,11 o capital cresce, acima ele encolhe, e em 11,11 ele para. Esse ponto tem nome — estado estacionário — e a Aula 3 vai derivá-lo com a turma em vez de entregá-lo pronto. Você acabou de chegar nele sozinho.

9. A equação dita em voz alta

Para o item (b), diga sem calcular nada se Δk fica maior, menor ou igual — e por que, em meia linha — em cada uma destas situações: (i) o país aumenta a taxa de poupança s; (ii) uma geração grande entra no mercado de trabalho (n sobe); (iii) as máquinas passam a durar mais (δ cai); (iv) o país já está no ponto do exercício 8(c) e nada muda.

  1. (a)Traduza Δk = s·f(k) − (δ + n)·k para uma frase em português, sem símbolo nenhum, que um colega de outro curso entenderia.
  2. (b)Responda os quatro cenários (i) a (iv).
  3. (c)No cenário (iv), Δk = 0 — o capital por trabalhador parou de crescer. Isso quer dizer que a economia parou de produzir, ou que ela parou de crescer, ou nenhuma das duas? Uma frase. (Não tem resposta óbvia: é a distinção mais importante da Aula 3, e vale chegar com uma opinião escrita.)
gabarito do 9
  1. (a)Algo como: “o capital por trabalhador cresce com o que a economia poupa e investe, e encolhe com o que se desgasta e com a gente nova que chega para dividir o mesmo capital.” Qualquer frase que separe corretamente o que soma do que subtrai está certa.
  2. (b)(i) maior — o termo que soma aumenta. (ii) menor — mais trabalhadores dividindo o mesmo capital. (iii) maior — perde-se menos por desgaste. (iv) zero, e continua zero: é a definição do ponto.
  3. (c)Nenhuma das duas. A economia continua produzindo, e produzindo o mesmo y* = 3,33 por trabalhador, ano após ano. E continua crescendo em tamanho, porque n > 0: há mais trabalhadores todo ano, então Y total cresce. O que parou de crescer é a renda por trabalhador. Distinguir nível de renda de taxa de crescimento da renda é o conteúdo mais contraintuitivo da Aula 3 — lá você vai ver que dobrar a taxa de poupança muda o nível de renda de longo prazo (e menos do que se espera: cerca de 41%, não 100%) e não muda a taxa de crescimento de longo prazo.

Como isto é corrigido

Pass/fail, sem peso na nota, e sem trabalho de correção pesado.

  1. 01O que se entrega é uma folha só, com os números finais dos exercícios 1 a 8 e as frases dos itens 9(a) e 9(c). Não se entrega desenvolvimento. Foto legível de folha manuscrita serve.
  2. 02A correção é por conferência contra a chave, não por leitura de raciocínio: bater o olho numa folha leva menos de um minuto.
  3. 03Aprovação: entregou os nove e acertou os exercícios 5, 6 e 8 — os três que a aula usa de verdade. Erro nos demais não reprova, e o item 9(c) não tem resposta certa.
  4. 04Quem não passa refaz uma vez, sem penalidade, sem registro e sem prazo novo. Isto é um diagnóstico, não uma barreira.
  5. 05O gabarito é público desde a publicação. Quem copia sem fazer as contas paga o preço sozinho na Oficina I, e o mecanismo que evitaria isso custaria mais do que o problema vale.

A conferência de entrega acontece nos primeiros quinze minutos do encontro 3, enquanto o professor circula — sem expor ninguém e sem interromper a aula para isso.